Διάλεξη 7
Θέματα
- Λογιστική Απεικόνιση
- Σταθερά σημεία, μελέτη ευστάθειας
- Υπολογισμός σταθερών σημείων και \( 2^{n-1} \) κύκλων με τη μέθοδο Newton-Raphson
- Εκθέτες Liapunov
Βιβλιογραφία
- Βιβλίο διδάσκοντα, Κεφάλαιο 3
Σχετικές Βιντεοδιαλέξεις
Διαλέξεις από το διδάσκοντα σε θέματα συναφή με τη διάλεξη. Οι διαλέξεις που γίνονται στο εργαστήριο και οι διαλέξεις που παρουσιάζονται στα βίντεο δεν ταυτίζονται ως προς τα θέματα και την παρουσίαση, αλλά έχουν σημαντική επικάλυψη.
Στα settings του YouTube viewer, επιλέξτε High Definition (1080p HD) για την ευκρινή θέαση των λεπτομερειών στο βίντεο.
Εξάσκηση
- Στην κβαντομηχανική θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση
\(\epsilon\tan\epsilon = \sqrt{\rho^2-\epsilon^2} \),
όπου \(\epsilon = \sqrt{\frac{m L^2}{2\hbar}E} \), \( \rho = \sqrt{\frac{m V_0 L^2}{2\hbar}} \) συνδέονται με
το ενεργειακό φάσμα \( E\) των δέσμιων καταστάσεων
ενός σωματιδίου μάζας \( m \) σε ένα πηγάδι δυναμικού πλάτους \( L \) και βάθους \( V_0\).
Κάντε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων \(\epsilon\tan\epsilon \) και \( \sqrt{\rho^2-\epsilon^2}\) για \(\rho=8\) και
βρείτε γραφικά τις τρεις ρίζες τις εξίσωσης. Στη συνέχεια γράψτε πρόγραμμα που να υλοποιεί τη μέθοδο Newton-Raphson για τη
λύση της εξίσωσης \(g(\epsilon) = \epsilon\tan\epsilon - \sqrt{\rho^2-\epsilon^2} = 0\). Επιλέξτε αρχικές τιμές
για τον αλγόριθμο που θα συγκλίνουν σε κάθε μια από τις τρεις ρίζες.(Λύση)
Τι παρατηρείτε για τα διαστήματα των αρχικών τιμών που "έλκονται" σε κάθε μια από τις ρίζες; Επιλέξτε τιμές \( 0.2 \le x_0 \le 7.0 \) με βήμα \(\delta\epsilon= 0.01\).(Λύση) - Θεωρήστε το πολυώνυμο \(g(x)=x^3-2x^2-11x+12 \). Βρείτε τις ρίζες που δίνει η μεθοδος Newton-Raphson αν επιλέξετε \(x_0=2.35287527,\) \(2.35284172,\) \( 2.35283735, \) \(2.352836327,\) \(2.352836323\). Τι συμπεραίνετε για το πεδίο έλκυσης (basin of attraction) των εν λόγω ριζών του πολυωνύμου; Κάντε τη γραφική παράσταση του πολυωνύμου σε πιεριοχή γύρω από τις ρίζες του και δοκιμάστε αρχικά σημεία που θα συγκλίνουν σε κάθε μία από αυτές.
- Γράψτε πρόγραμμα που να βρίσκει τα σταθερά σημεία της \( x = f^{(k)}(x)\), όπου \( f(x) = r x (1-x) \) η λογιστική απεικόνιση. Το πρόγραμμα να υπολογίζει και την τιμή της παραγώγου \( |f^{(k)}{}'(x^*)|\). Να βρείτε τους ευσταθείς k-κύκλους της λογιστικής απεικόνισης για \( r= \) 0.5, 1.25, 2, 3.1, 2.9, 3.1, 3.4, 3.48, 3.55. (Λύση)
- Να γράψετε πρόγραμμα που να υπολογίζει τον εκθέτη Liapunov της λογιστικής απεικόνισης από τη σχέση \( \lambda = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n|f'(x_k)|\). Να υπολογίσετε το αποτέλεσμα για r=3.8 χρησιμοποιώντας ως αρχικά σημεία τα \(x_0 = \) \(0.2\), \(0.35\), \(0.5\), \(0.75\) και από τη διαφορά των αποτελεσμάτων να εκτιμήσετε το σφάλμα προσδιορισμού του λ. Πάρτε αρχικά \(n=3000\) και μετά \( n=70\, 000\). Τι παρατηρείτε; Μπορείτε να φτάσετε \(n=2\, 000\, 000\) και να δείτε τη διαφορά; (Λύση)
- Να υπολογίσετε τον εκθέτη Liapunov της λογιστικής απεικόνισης για \( 2.4 < r < 4\). Να κάνετε τη γραφική παράσταση \( \lambda(r) \) και να εκτιμήσετε για ποιες τιμές του \(r\) το σύστημα περνάει από περιοδική σε μη περιοδική συμπεριφορά. (Λύση)
